Застосування похідної для дослідження функцій

Проміжки монотонності

Якщо для всіх \( x \) з проміжку \( (a; b) \) виконується нерівність \( f'(x) > 0 \), то на цьому проміжку функція зростає. Якщо ж для всіх \( x \) з проміжку \( (a; b) \) виконується нерівність \( f'(x) < 0 \), то на цьому проміжку функція спадає. Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності.

Щоб дослідити функцію \( f(x) \) на монотонність, слід:

  1. знайти її похідну \( f'(x) \);
  2. знайти критичні точки функції (\( f'(x) = 0 \) або \( f'(x) \) не існує);
  3. визначити знак похідної функції на кожному з проміжків, на які критичні точки розбивають область визначення функції;
  4. визначити проміжки зростання та спадання функції (якщо \( f'(x) > 0 \), то на проміжку функція зростає, якщо ж \( f'(x) < 0 \) — спадає).

Приклад

З’ясувати, чи зростає функція \( f(x) = 4\sqrt{x} + 6x \) на проміжку \( (0; +\infty) \). Знайдемо похідну функції:

\[ f'(x) = \left(4\sqrt{x} + 6x\right)' = \frac{2}{\sqrt{x}} + 6. \]

Оскільки для всіх \( x \in (0; +\infty) \) виконується \( \frac{2}{\sqrt{x}} + 6 > 0 \), то функція \( f(x) \) зростає на проміжку \( (0; +\infty) \).

Максимуми й мінімуми функції

Кажуть, що функція \( y = f(x) \) має в точці \( x_0 \) максимум (мінімум), якщо існує такий \( \delta \)-окіл точки \( x_0 \) \( (x_0 - \delta; x_0 + \delta) \), що для всіх \( x \) з цього околу, відмінних від \( x_0 \), виконується нерівність \( f(x) < f(x_0) \) (\( f(x) > f(x_0) \)). Точки максимуму й мінімуму називають точками екстремуму. Значення функції в точках максимуму й мінімуму називають екстремумами (максимами й мінімумами) функції.

Точки області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називають критичними.

Приклад

Задано функцію \( y = x^2 \). Тоді \( y' = (x^2)' = 2x \). У точці \( x = 0 \) дана функція має мінімум, оскільки \( f'(0) = 0 \) і похідна змінює знак з «–» на «+».

Дослідження функції на екстремуми

Щоб дослідити функцію на екстремуми, потрібно:

  1. знайти критичні точки функції;
  2. перевірити, чи змінює знак похідна функції при переході через критичну точку;
  3. обчислити значення максимуму \( y_{\text{max}} \) або мінімуму \( y_{\text{min}} \).

Приклад

Знайти точки екстремуму функції \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 18 \). Обчислимо похідну функції:

\[ f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 18)' = 3x^2 - 6x. \]

Знайдемо критичні точки функції:

\[ f'(x) = 0; \quad 3x^2 - 6x = 0; \quad x(3x - 6) = 0; \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2. \]

Дослідимо знак похідної в околах критичних точок:

Відповідь: \( x_{\text{max}} = 0; \quad x_{\text{min}} = 2 \).

Асимптоти

Пряму \( x = a \) називають вертикальною асимптотою графіка функції \( y = f(x) \), якщо

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty. \]

Наприклад, пряма \( x = 0 \) є вертикальною асимптотою графіка функції \( y = \frac{1}{x} \), оскільки

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty. \]

Пряму \( y = b \) називають горизонтальною асимптотою графіка функції \( y = f(x) \), якщо

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \]

або

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = b. \]

Наприклад, пряма \( y = 0 \) є горизонтальною асимптотою графіка функції \( y = \frac{1}{x^2 - 1} \), оскільки

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0. \]

Дослідження функції

Повне дослідження функції на побудову на її основі графіка функції можна виконувати за такою схемою:

  1. Знайти область визначення функції.
  2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.
  3. Знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції.
  4. Знайти асимптоти графіка функції.
  5. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат та проміжки знакосталості функції.
  6. Використовуючи результати дослідження й обчисливши ряд контрольних точок, будуємо графік функції.

Приклад

Побудувати графік функції \( y = \frac{1}{3}x^3 + 1.5x^2 + 2x - 3\frac{5}{6} \).

  1. Область визначення функції \( D(f) = \mathbb{R} \).
  2. Функція ні парна, ні непарна, бо \( y(-x) = -\frac{1}{3}x^3 + 1.5x^2 - 2x - 3\frac{5}{6} \neq -y(x) \neq y(x) \). Функція неперіодична.
  3. Похідна функції: \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + 1.5x^2 + 2x - 3\frac{5}{6}\right)' = x^2 + 3x + 2. \] Знайдемо критичні точки: \[ x^2 + 3x + 2 = 0; \quad x_1 = -2, \quad x_2 = -1. \] На проміжках \( (-\infty; -2) \) та \( (-1; +\infty) \) функція зростає, бо \( y' > 0 \); на проміжку \( (-2; -1) \) функція спадає, бо \( y' < 0 \). Точка \( x = -2 \) — точка максимуму, \( y_{\text{max}} = -4\frac{1}{2} \); точка \( x = -1 \) — точка мінімуму, \( y_{\text{min}} = -4\frac{2}{3} \).
  4. Друга похідна: \[ y'' = (x^2 + 3x + 2)' = 2x + 3. \] На проміжку \( (-1.5; +\infty) \) графік вгнутий, бо \( y'' > 0 \); на проміжку \( (-\infty; -1.5) \) графік опуклий, бо \( y'' < 0 \). Точка \( \left(-\frac{3}{2}; -4\frac{7}{12}\right) \) — точка перегину.
  5. Асимптот функція не має.
  6. Графік перетинає вісь \( y \) у точці \( \left(0; -3\frac{5}{6}\right) \). Корінь рівняння \( \frac{1}{3}x^3 + 1.5x^2 + 2x - 3\frac{5}{6} = 0 \) — \( x = 1 \). Графік перетинає вісь \( x \) у точці \( (1; 0) \).